{"id":177,"date":"2018-07-25T13:34:05","date_gmt":"2018-07-25T13:34:05","guid":{"rendered":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/?page_id=177"},"modified":"2018-07-29T21:50:47","modified_gmt":"2018-07-29T21:50:47","slug":"mathematik-und-intervallverhaeltnisse","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/?page_id=177","title":{"rendered":"Mathematik und Intervallverh\u00e4ltnisse"},"content":{"rendered":"

Das Modell der Musik als Spiegel der Welt ist das erste abstrakte Weltmodell \u00fcberhaupt.<\/em> Es f\u00fchrte zur Entdeckung allgemeiner Zahlengesetze und war der Anlass dazu, eine m\u00e4chtige Zahlentheorie zu entwickeln. Der Grund daf\u00fcr ist vermutlich, dass astronomische Vorg\u00e4nge und Musik als einzige Dinge der antiken Erlebniswelt und auf auffallende Weise einfachen Zahlenverh\u00e4ltnissen zu folgen scheinen: Himmelsk\u00f6rper kehren periodisch wieder, Jahre unterteilen sich in Tage, der Mond nimmt in regelm\u00e4ssigen Zeitabst\u00e4nden zu und ab, Saiten ergeben harmonisch klingende Verh\u00e4ltnisse bei ganz einfachen Unterteilungen und so weiter. Wie keine anderen Lebensbereiche m\u00fcssen Astronomie und Musik die pr\u00e4historischen und fr\u00fchgeschichtlichen Menschen mit der Nase auf Zahlengesetze und abstrahierendes Denken gestossen haben.<\/p>\n

Dem antiken Menschen d\u00fcrfte aufgefallen sein, dass ein wohlt\u00f6nender Klang sich aus mehreren Bestandteilen zusammensetzt, sei es, dass er fl\u00f6ten\u00e4hnliche Instrumente \u00fcberblies, schwingende Saiten zuf\u00e4llig bei ihren Schwingungsknoten ber\u00fchrte oder beim Erzeugen von musikalischen Singt\u00f6nen im eigenen Kopf als Resonanzk\u00f6rper deutliche Obert\u00f6ne h\u00f6rte. Mit andern Worten: er d\u00fcrfte sich mit dem Ph\u00e4nomen der Obertonreihe konfrontiert haben, die ihn damals vermutlich genauso ins Staunen und R\u00e4tseln gebracht haben d\u00fcrfte wie sp\u00e4tere Epochen die Elektrizit\u00e4t, die Relativit\u00e4t von Raum und Zeit oder der Erfolg des Schmachtfetzens \u00abGebet einer Jungfrau\u00bb.<\/p>\n

Der Nachvollzug der mathematisch-physikalischen Gesetze der Obertonreihe ist im Grunde genommen einfach. Ein kleines Hindernis bietet bloss das Verst\u00e4ndnis des sogenannten logarithmischen H\u00f6rens.<\/p>\n

Oktaven bauen physikalisch in exponentialer Art aufeinander auf:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Physikalisch gesehen sind die Frequenzen<\/em>
\naufeinanderfolgender Oktaven Halbierungen derjenigen<\/em>
\nder jeweils vorangehenden.<\/em><\/p>\n

Das Ohr allerdings h\u00f6rt die Aufeinanderschichtung linear, C, c, c\u2019 und so weiter scheinen alle gleich weit voneinander entfernt:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Das Ohr h\u00f6rt Oktaven in immer gleichem<\/em>
\nAbstand aufeinanderfolgend.<\/em><\/p>\n

Eigentlich stimmt auch das nicht ganz genau \u2013 in Wirklichkeit l\u00e4sst das Ohr die Distanzinterpretation mehr oder weniger offen. Vieles an dem Distanzempfinden ist Konditionierung durch kulturelle Pr\u00e4gung. Sobald wir T\u00f6ne in Beziehung zueinander setzen, haben wir etwa das Modell der Klaviertastatur vor dem geistigen Auge, die eben gerade das lineare Abstandsmodell realisiert:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Auf der Klaviertastatur scheinen die T\u00f6ne in
\n<\/em>regelm\u00e4ssigen \u2013 linearen \u2013 Abst\u00e4nden angeordnet.<\/em><\/p>\n

Der Konfliktes zwischen linearer Wahrnehmung und exponentialem Frequenzgang ist daf\u00fcr verantwortlich, dass die H\u00f6rintuition immer wieder scheitert, wenn sie die mathematische Darstellung der Tonleiter nachvollziehen will.<\/p>\n

Die wahren physikalischen Verh\u00e4ltnisse ziwschen den Tonh\u00f6hen lassen sich nicht an einer Klaviertastatur ablesen. Viel geeigneter daf\u00fcr ist die gespannte Saite einer Violine oder Gitarre: Teilt man die Saite in der Mitte, erzeugt man einen Ton, der eine Oktave h\u00f6her ist als derjenige der ungeteilten Saite. Teilt man die halbe Saite wieder \u2013 man erh\u00e4lt einen Viertel der Ausgangssaite \u2013, so erzeugt man einen Ton, der wiederum eine Oktave h\u00f6her ist, also zwei Oktaven h\u00f6her als der von der ungeteilten Saite erzeugte Ton – ganz entsprechend dem oben angegebenen Oktavenschema.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Fortgesetzte Halbierung einer Saite ergibt jeweils<\/em>
\neinen eine Oktave h\u00f6heren Ton.<\/em><\/p>\n

Soviel zu den Oktaven. Wie aber werden die anderen Intervalle erzeugt? Eine Quinte zum Beispiel erklingt, wenn bloss zwei Drittel einer Saite zum Schwingen gebracht werden:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Unterlegt man bei einer L\u00e4nge von Zweidritteln der urspr\u00fcnglichen Saitenl\u00e4nge<\/em>
\neinen Steg, so erklingt die Quinte des Ausgangstons<\/em><\/p>\n

Eine Quarte ist die Vervollst\u00e4ndigung der Oktave auf Basis der Quinte:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Zweidrittel einer Saite lassen die<\/strong> Quinte des Grundtones erklingen.<\/em>
\nDie dar\u00fcberliegende Oktave ert\u00f6nt, wenn Dreiviertel der L\u00e4nge der Quinte abgemessen<\/em>
\n\u00a0werden. Die Mathematik best\u00e4tigt dies: Die H\u00e4lfte ist dasselbe wie Dreiviertel von Zweidrittel.<\/em><\/p>\n

Wie man sieht, ergeben 2\/3 der ganzen Saite die Quinte, und 3\/4 dieser Quinte ergeben die Quarte, welche die Oktave vervollst\u00e4ndigt.<\/p>\n

Die obere Oktave, welche die H\u00e4lfte der unteren ausmacht, setzt sich also zusammen aus einem 2\/3- und einem 3\/4-Verh\u00e4ltnis. Und weil wir unserer H\u00f6rerfahrung entsprechend intuitiv zusammenz\u00e4hlen wollen, addieren wir die beiden Zahlen: 2\/3+3\/4. Dies ist aber falsch. Wie man aus der Abbildung sieht, ist die Oktave 3\/4-mal<\/em> die Quinte, die bereits 2\/3-mal<\/em> die untere Oktave ist. Die korrekte Rechnung lautet:<\/p>\n

H\u00f6reindruck:\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Quinte\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 und\u00a0\u00a0\u00a0 Quarte\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 =\u00a0\u00a0\u00a0 Oktave
\n<\/em>Mathematisch: \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 2\/3\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 mal\u00a0\u00a0\u00a0 3\/4\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 =\u00a0\u00a0\u00a0 1\/2<\/em><\/p>\n

Von der Richtigkeit der mathematischen Formel \u00fcberzeugt man sich durch einfaches K\u00fcrzen. Generell setzt man Intervalle also aufeinander, indem man die ihnen zugeordneten Verh\u00e4ltnisse multipliziert.<\/p>\n

Eine Inversion eines Verh\u00e4ltnisses ist ein Richtungswechsel: 3\/4 bedeutet einen Quartschritt aufw\u00e4rts, 4\/3 hingegen einen solchen abw\u00e4rts (n\u00e4mlich 4\/3 einer Saite des Ausgangstones, also einer l\u00e4ngeren und damit auch tieferen Saite).<\/p>\n

Noch ein anders Detail m\u00fcssen wir kl\u00e4ren: Man kann Versuche an der Saite machen, indem man sie dadurch verk\u00fcrzt, dass man ihr einen Steg unterlegt oder indem man wie bei einer Gitarren- oder Violinsaite durch Herunterdr\u00fccken mit dem Finger unterteilt. Eine solche Saite produziert auf beiden Seiten der Unterteilung verschiedene T\u00f6ne:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Setzt man bei zwei Dritteln einer Saite einen Steg, der die beiden Verh\u00e4ltnisse vollst\u00e4ndig
\n<\/em> trennt, so erklingt auf einer Seite die Quinte des Grundklanges, <\/em>auf der anderen
\ndie Oktave der Quinte (da ein Drittel ja gerade die <\/em>H\u00e4lfte von zwei Dritteln ist).<\/em><\/p>\n

Man kann eine Saite aber auch mit einer sogenannte Flageolett-Technik verk\u00fcrzen. Dazu setzt man den Finger einfach leicht auf, der einen Schwingungsknoten erzeugt. In diesem Fall erklingt auf beiden Seiten der Unterteilung derselbe Ton:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wird wie bei der Flageoletttechnik die Saite bloss an der Stelle eines ganzzahligen
\nTeilungsverh\u00e4ltnisses ber\u00fchrt, so entsteht ein Schwingungsknoten.<\/em><\/p>\n

In der Antike d\u00fcrfte das Ph\u00e4nomen der Flageolett-T\u00f6ne zur Entdeckung der Intervallverh\u00e4ltnisse gef\u00fchrt haben, und nicht etwa \u2013 wie h\u00e4ufig kolportiert \u2013 die Verh\u00e4ltnisse der Saiten der Lyra zueinander. Beim Stimmen zweier Saiten spielen ja auch Dinge wie die Saitenspannung und -beschaffenheit eine entscheidende Rolle. Die Saiten einer Gitarre sind ja auch alle gleich lang und produzieren dennoch verschiedene T\u00f6ne.<\/p>\n

Damit sind die gr\u00f6ssten Verst\u00e4ndnish\u00fcrden eigentlich \u00fcbersprungen. Die physikalischen Eigenschaften der Obertonreihe und der Tonskalen lassen sich nun leicht darlegen.<\/p>\n

Die erste Frage ist diejenige, welche Verh\u00e4ltnisse die Intervalle zueinander haben. Klar scheint dies bei der Oktave: Zwei T\u00f6ne im Verh\u00e4ltnis von 1:2 erzeugen eine Oktave. Ebenfalls einfach scheint dies bei der Quinte (2:3) und der Quarte (3:4). F\u00fcr die feineren Unterteilungen k\u00f6nnen wir die Obertonreihe zu Rate ziehen:\"\"<\/p>\n

Die Obertonreihe; die schwarzen T\u00f6ne wollen<\/em>
\nsich nicht recht in eine Tonleiterkonstruktion einpassen.<\/em><\/p>\n

F\u00fcr den Ganzton haben wir zwischen dem b und dem e eine ganze Reihe von m\u00f6glichen Zahlverh\u00e4ltnissen: 7:8, 8:9, 9:10, 10:11. Nach welchen Kriterien wollen wir w\u00e4hlen? Noch verwirrender wird es, wenn wir ein Halbtonintervall definieren wollen: W\u00e4hlen wir fis-g (11:12), oder g-as (12:13), oder gar die noch feineren 13:14, 14:15 oder 15:16?<\/p>\n

Es hilft uns m\u00f6glicherweise, wenn wir daran denken, dass zwei Halbt\u00f6ne einen Ganzton ergeben m\u00fcssen. Es gibt einen guten Grund, den Ganzton als Verh\u00e4ltnis 8:9 zu w\u00e4hlen. In diesem Fall ergeben eine Quart und ein Ganzton getreu unserer Methode, T\u00f6ne aufeinander zu t\u00fcrmen, genau das, was sie sollen: eine Quinte:<\/p>\n

3\/4 * 8\/9 = 2\/3<\/p>\n

Will man das richtige Verh\u00e4ltnis f\u00fcr einen Halbton finden und definiert man den Ganzton mit 8:9, dann gilt es, ein Verh\u00e4ltnis zu w\u00e4hlen, f\u00fcr das die Gleichung<\/p>\n

a\/b * a\/b = 8\/9<\/p>\n

gilt. Daf\u00fcr gibt es keine L\u00f6sung aus der Auswahl 11:12 bis 15:16. Es gibt \u00fcberhaupt kein rationales Verh\u00e4ltnis daf\u00fcr. Eigentlich gibt es nur eine L\u00f6sung: Wir w\u00e4hlen f\u00fcr den Ganzton statt 8:9 das Verh\u00e4ltnis 7:8 und akzeptieren z\u00e4hneknirschend zwei ungleich grosse Halbt\u00f6ne, n\u00e4mlich 14:15 und 15:16. Die Gleichung lautet dann<\/p>\n

14\/15 * 15\/16 = 7\/8<\/p>\n

Damit geht aber der Aufbau der Quinte aus einer Quarte und einem Ganzton nicht mehr auf, denn die Gleichung<\/p>\n

3\/4 * 7\/8 = 2\/3<\/p>\n

ist falsch.<\/p>\n

Auch ein zweites Verfahren, alle T\u00f6ne der Tonleiter zu produzieren, f\u00fchrt ins Leere. Der bekannte Quintenzirkel. Dabei t\u00fcrmt man Oktaven und Quinten solange aufeinander, bis sie wieder zusammenfallen:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

(Oktav- und Quintschichtung): Die Quinten fallen in einer Aneinanderreihung der Oktaven auf die
\nT\u00f6ne G, d, a, e\u2019, h\u2019, f#\u2019\u2019 und so weiter bis f\u2019\u2019\u2019\u2019\u2019 und c\u2019\u2019\u2019\u2019\u2019\u2019 – oder beinahe; die beiden
\nnat\u00fcrlichen Arten, einen Zirkel zu konstruieren fallen nicht ganz zusammen.<\/em><\/p>\n

Das Dumme daran ist, dass die beiden Schichtungen nie aufeinandertreffen werden, wie eine einfache Reihenuntersuchung beweist. Die Oktavenschichtung stellt sich n\u00e4mlich dar als<\/p>\n

1\/2 * 1\/2 * 1\/2 *…. * 1\/2 = (1\/2)n<\/sup><\/p>\n

Die Quintenschichtung jedoch hat folgende Form:<\/p>\n

2\/3 * 2\/3 * 2\/3 * …. * 2\/3 = (2\/3)n<\/sup><\/p>\n

Elementare Zahlentheorie zeigt aber, dass es keine Zahlen m<\/em> und n<\/em> geben kann, so dass<\/p>\n

(1\/2)n <\/sup>= (2\/3)n<\/sup><\/p>\n

denn 2 und 3 sind teilerfremd.<\/p>\n

Allerdings sind sich (1\/2)7<\/sup> und (1\/3)12<\/sup> derart nahe, dass man sie mit ein wenig Schummeln gleichsetzen kann. Mit gutem Argument: Wenn schon die Ganzt\u00f6ne und Halbt\u00f6ne nicht exakt definiert werden k\u00f6nnen, dann kann man sich auch das erlauben. Zudem entspricht es dem Verhalten des Quintenzirkels, wenn die Oktave exakt in zw\u00f6lf Halbt\u00f6ne unterteilt w\u00e4re.<\/p>\n

Nun stellt sich ein weiteres Problem: die exakte Halbierung der Oktave. Diese ist, wie die exakte Halbierung des Ganztones, etwas, das ausserhalb der Zahlenverh\u00e4ltnisse liegt, die sich als Bruch zweier nat\u00fcrlicher Zahlen darstellen l\u00e4sst. Gesucht ist n\u00e4mlich ein Verh\u00e4ltnis so, dass gilt:<\/p>\n

x * x = 1\/2<\/p>\n

das heisst, zwei gleiche T\u00f6ne, die aufeinandergeschichtet genau eine Oktave ergeben. Die mathematische L\u00f6sung ist keine rationale Zahl:<\/p>\n

x = 1\/\u221a2<\/p>\n

Die Einsicht, dass die genaue Halbierung der Oktave rational nicht darstellbar ist, hat in Indien zu ganz unterschiedlichen Schlussfolgerungen gef\u00fchrt als in Griechenland. Die Bewohner Hellas\u2019 versteiften sich darauf, der Rationalit\u00e4t den Vorzug zu geben und eine einzige, unteilbare Wahrheit zu verk\u00fcnden \u2013 auch zum Preis, dass damit die praktische Erfahrung geleugnet werden musste. Die Verfasser der indischen Veden nahmen die Befunde von Beginn als Ausgangspunkt einer pluralistischen Weltsicht: Wenn es die einzig-g\u00fcltige Theorie nicht geben kann, dann sollte man die unterschiedlichen praktischen Weltsichten gleichberechtigt nebeneinander stellen \u2013 nach dem Motto \u00abLeben und leben lassen\u00bb.<\/p>\n

Eine M\u00f6glichkeit, aus dem bestehenden Material eine befriedigende Tonleiter zu konstruieren, sieht etwa so aus:<\/p>\n

C<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0 15\/16 \u00a0\u00a0\u00a0 d<\/span>\u00a0<\/strong>\u00a0\u00a0\u00a0 8\/9 \u00a0\u00a0\u00a0 e<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9\/10 \u00a0\u00a0\u00a0 f<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 8\/9 \u00a0\u00a0 g<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0 15\/16 \u00a0\u00a0 a<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0 8\/9 \u00a0\u00a0\u00a0 h<\/strong><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9\/10 \u00a0\u00a0 c<\/strong><\/span><\/p>\n

Wenn man die Verh\u00e4ltnisse in nat\u00fcrlichen Zahlen als Unterteilungen des Verh\u00e4ltnisses 1:2, das heisst der Oktave, angeben will \u2013 was antiker Arithmetik mehr entspricht \u2013, dann muss man nat\u00fcrliche Zahlen so finden, dass ihre Verh\u00e4ltnisse den angegebenen entsprechen. Wir erweitern dabei die obige Folge so, dass statt Br\u00fcche nat\u00fcrliche Zahlen im Verh\u00e4ltnis zueinander stehen. Die kleinstm\u00f6glichen ganzen Zahlen, die diese Bedingung erf\u00fcllen, lauten:<\/p>\n

30\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 32\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0 36\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0 \u00a0 40\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 45\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 48\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 54\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 60<\/p>\n

Es sind alle Zahlen, die kleiner sind als 60 und die sich in der Form 2p<\/sup>3q<\/sup>5r<\/sup> darstellen lassen. Geht man davon aus, dass die Oktave ein Schliessen eines Kreises bedeutet, ein Moment, von dem an sich alles wiederholt, dann kann man diese Tonverh\u00e4ltnisse auch als Kreis darstellen:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Der Tonartenkreis<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Das Modell der Musik als Spiegel der Welt ist das erste abstrakte Weltmodell \u00fcberhaupt. Es f\u00fchrte zur Entdeckung allgemeiner Zahlengesetze und war der Anlass dazu, eine m\u00e4chtige Zahlentheorie zu entwickeln. Der Grund daf\u00fcr ist vermutlich, dass astronomische Vorg\u00e4nge und Musik als einzige Dinge der antiken Erlebniswelt und auf auffallende Weise einfachen Zahlenverh\u00e4ltnissen zu folgen scheinen: Himmelsk\u00f6rper kehren periodisch wieder, Jahre unterteilen sich in Tage, der Mond nimmt in regelm\u00e4ssigen Zeitabst\u00e4nden zu und ab, Saiten ergeben harmonisch klingende Verh\u00e4ltnisse bei ganz einfachen Unterteilungen und so weiter. Wie keine anderen Lebensbereiche m\u00fcssen Astronomie und Musik die pr\u00e4historischen und fr\u00fchgeschichtlichen Menschen mit der Nase auf Zahlengesetze und abstrahierendes Denken gestossen haben. Dem antiken Menschen d\u00fcrfte aufgefallen sein, dass ein wohlt\u00f6nender Klang sich aus<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-177","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/177","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=177"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/177\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":352,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/177\/revisions\/352"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=177"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}