{"id":195,"date":"2018-07-25T13:59:47","date_gmt":"2018-07-25T13:59:47","guid":{"rendered":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/?page_id=195"},"modified":"2018-07-30T11:34:33","modified_gmt":"2018-07-30T11:34:33","slug":"fred-lerdahl-und-das-gravitationsgesetz-der-musik","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/?page_id=195","title":{"rendered":"Fred Lerdahl und das Gravitationsgesetz der Musik"},"content":{"rendered":"

Schon vor Ernst Kurth und Victor Zuckerkandl gibt es Autoren, die Musik als eine Art virtuelles Universum beschreiben \u2013 beherrscht von Kr\u00e4ften, \u00e4hnlich denen der realen Physik. Bereits Rameau vergleicht die in der Musik wirkenden Gesetze mit der zu seiner Zeit gerade neu entdeckten Gravitation, und auch Schenker spricht vom \u00abWillen der T\u00f6ne\u00bb. Beide jedoch bringen ihre Beobachtungen nicht in ein System. Auf der andern Seite geht Fred Lehrdahl nach GTTM mit eingehenden Untersuchungen zu Tonr\u00e4umen eigene Wege. Er schliesst dabei einerseits an die Resultate der Chomsky-inspirierten generativen Musiktheorie an und versucht, dabei noch ungel\u00f6ste Probleme anzugehen \u2013 in erster Linie die Stabilit\u00e4tsbedingungen tonaler Musik. In einem bemerkenswerten Kapitel seines Buches \u00abTonal Pitch Space\u00bb[1]<\/a> \u00fcber Tonspannung und -anziehung greift er aber auch explizit die Ideen von Kurth und Zuckerkandl auf. Er pr\u00e4zisiert sie.<\/p>\n

Der genauere Blick beschr\u00e4nkt sich nicht auf die Rahmentheorie und die Kl\u00e4rung der psychologischen Vorg\u00e4nge, die dem Ph\u00e4nomen zugrunde liegen. Qualitative Muster von Spannungshierarchien finden sich ja bereits in den Prolongationsanalysen von GTTM. Lerdahl geht einen \u2013 spektakul\u00e4ren \u2013 Schritt weiter: Er quantifiziert<\/em> die Tonenergien und \u00abGravitations\u00bb-Kr\u00e4fte und setzt sich damit auch \u00fcber das Verdikt Zuckerkandls hinweg, dass der musikalische Raum eben nicht vermessbar sei.<\/p>\n

Die Kr\u00e4fte, die zwischen einzelnen T\u00f6nen in einem Musikst\u00fcck zum Tragen kommen, analysiert Lerdahl auf zweierlei Art. Zum einen untersucht er diejenigen zwischen unmittelbar aufeinander folgenden Ereignissen als sequentiell<\/em> vorliegende Verh\u00e4ltnisse. Zum andern untersucht er die Kr\u00e4fte zwischen den Ereignissen, die in Prolongationsanalysen hierarchisch aufeinander bezogen sind. Er nennt dies das hierarchische<\/em> Modell der musikalischen Kr\u00e4fte.<\/p>\n

Um Lerdahls Modell nachvollziehen zu k\u00f6nnen, muss man zuerst seine Konzeption eines Basisraumes und die Differenz der Tonh\u00f6hen kennen. Es ist dabei nicht so wichtig, genau zu verstehen, was hier weshalb geschieht. Die darunterliegende Theorie ist zwar nicht unbedingt schwierig zu verstehen, aber ziemlich komplex und formalistisch. Es gen\u00fcgt deshalb f\u00fcrs erste, einfach einen Eindruck davon zu haben, wie Lerdahl vorgeht.<\/p>\n

Zu jeder Tonleiter geh\u00f6rt laut Lerdahl ein abgestufer Tonraum, der auf der h\u00f6chsten Ebene von den Oktaven gebildet wird und auf der n\u00e4chstfeineren vom Oktav-Quint-Rahmen. Dahinein passt sich die Dreiklangsebene mit Grundton, Terz und Quinte, in die wiederum die diatonische Tonleiter eingepasst wird. Die feinste Strukturierung schliesslich ist die chromatische Tonleiter. Die Ebenen sehen zum Beispiel f\u00fcr die C-Dur-Tonleiter folgendermassen aus:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Ebene a:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene b:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\ng<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene c:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\ne<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\ng<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene d:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\nd<\/td>\n<\/td>\ne<\/td>\nf<\/td>\n<\/td>\ng<\/td>\n<\/td>\na<\/td>\n<\/td>\nh<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene e:<\/td>\nc<\/td>\ncis<\/td>\nd<\/td>\ndis<\/td>\ne<\/td>\nf<\/td>\nfis<\/td>\ng<\/td>\ngis<\/td>\na<\/td>\nais<\/td>\nh<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Dazu definiert Lerdahl drei entscheidende Kennzahlen. Zwei davon beziehen sich auf Verschiebungen im Quintenzirkel. Zum einen werden die Anzahl Verschiebungen im Quintenzirkel gez\u00e4hlt, die ben\u00f6tigt werden, um den einen Dreiklang auf den andern abzubilden. Um den C-Dur-Dreiklang auf den d-Moll-Dreiklang abzubilden, braucht es zum Beispiel zwei Schritte: einen Quintschritt von C auf G und einen von G auf D. Diese Kennzahl wird mit \u00abj\u00bb bezeichnet. Die zweite Kennzahl wird auf der Ebene der Tonleiterverh\u00e4ltnisse ermittelt. Dabei z\u00e4hlt man, wieviele Schritte man im Quintenzirkel machen muss, um die dem einen Akkord zugrunde liegende Tonleiter auf die dem andern zugrunde liegende abzubilden. Diese Kennzahl wird mit \u00abi\u00bb bezeichnet. Sie entspricht der Anzahl Kreuze oder Bs, welche die beiden Tonarten unterscheiden. So ist i etwa f\u00fcr den Schritt vom C-Dur-Dreiklang zum D-Dur-Dreiklang gleich 2, von C-Dur zum E-Dur-Dreiklang gleich 4 oder vom B-Dur- zum D-Dur-Dreiklang gleich 4 (2 Bs, 2 Kreuze).<\/p>\n

Die dritte Kennzahl weicht etwas von gewohnten Theorien ab. Um sie zu ermitteln, verschieben wir von oben nach unten gesehen alle Ebenen bis zur Dreiklangsebene c entsprechend zwei zu vergleichenden Dreikl\u00e4ngen. Der d-Moll-Dreiklang sieht im C-Dur-Basisraum etwa so aus:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Ebene a:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\nd<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene b:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\nd<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\na<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene c:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\nd<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\nf<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\na<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene d:<\/td>\nc<\/td>\n<\/td>\nd<\/td>\n<\/td>\ne<\/td>\nf<\/td>\n<\/td>\ng<\/td>\n<\/td>\na<\/td>\n<\/td>\nh<\/td>\n<\/tr>\n
Ebene e:<\/td>\nc<\/td>\ncis<\/td>\nd<\/td>\ndis<\/td>\ne<\/td>\nf<\/td>\nfis<\/td>\ng<\/td>\ngis<\/td>\na<\/td>\nais<\/td>\nh<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Nun z\u00e4hlt man von der oberen Ebene an alle Eintr\u00e4ge, die vom einen zum anderen Basisraum neu hinzukommen (die, welche wegfallen, ignoriert man). Vom C-Dur-Dreiklang zum d-Moll-Dreiklang kommen folgende hinzu:<\/p>\n

Auf der Ebene a: ein d
\nAuf der Ebene b: ein d und ein a
\nAuf der Ebene c: ein d und ein f und ein a.<\/p>\n

Insgesamt sind also 6 neue Eintr\u00e4ge dazugekommen. Diese Kennzahl der unterschiedlichen Tonh\u00f6hen wird mit \u00abk\u00bb bezeichnet.<\/p>\n

Die (lokale) Spannung zwischen zwei aufeinander folgenden Akkorden definiert Lerdahl als Summe der drei Kennzahlen. Als Beispiel f\u00fcr die Spannungsverh\u00e4ltnisse gibt er eine vereinfachte Analyse eines Mozart-Sonatensatzes an:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Lerdahl-Analyse eines Mozart-Sonatensatzes<\/em><\/p>\n

Vom ersten Schritt zum zweiten ist die sequentielle Spannung = 0, da derselbe Akkord vorliegt. Vom zweiten zum dritten (erste Stufe auf den Sextakkord der f\u00fcnften Stufe) ist i = 0 (die Tonleiter ist dieselbe), j = 1 (der Akkord ist ein Schritt im Quintenzirkel entfernt) und k = 4 (hinzu kommen 4 Tonh\u00f6hen gem\u00e4ss der angegebenen Z\u00e4hlmethode), die sequentielle Spannung ist also gleich 5. Die Messreihe f\u00fcr die Spannungsabfolge lautet:<\/p>\n\n\n\n\n
I<\/td>\nI<\/td>\nV6<\/sup><\/td>\nvii06<\/sup>\/V<\/td>\nV<\/td>\nV<\/td>\nV4<\/sup>\/ii<\/td>\nii6<\/sup><\/td>\nV4<\/sup><\/td>\nI6<\/sup><\/td>\nii7<\/sup><\/td>\nV7<\/sup><\/td>\nI<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n0<\/td>\n5<\/td>\n8<\/td>\n5<\/td>\n0<\/td>\n11<\/td>\n5<\/td>\n7<\/td>\n5<\/td>\n8<\/td>\n5<\/td>\n5<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Es ist wichtig, im Auge zu behalten, dass diese Spannungs-\u00abmessung\u00bb nicht auf den Grundton bezogen ist, sondern vom einen jeweils auf den n\u00e4chsten Schritt. Der Schritt von V6<\/sup> auf vii06<\/sup>\/V bedeutet also etwa das gr\u00f6ssere Spannungsverh\u00e4ltnis, als derjenige von vii06<\/sup>\/V auf V.<\/p>\n

Soviel zur sequentiellen<\/em> Spannung. Die Ermittlung der hierarchischen<\/em> ist etwas komplizierter, weil die Prolongationsreduktion ins Spiel kommt.<\/p>\n

Zur Erinnerung: Prolongationen widerspiegeln die Vereinfachung oder Vergr\u00f6berung musikalischer Strukturen aufgrund der Beobachtung, dass einige Ereignisse fundamentaler sind als andere. So kann etwa die Schlussformel:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

vereinfacht werden zu\"\"<\/p>\n

In dem Beispiel sind also nicht nur die T\u00f6ne e, d, c, h und c sequentiell aufeinander bezogen, sondern auch e und c sind auf einer h\u00f6heren Ebene direkt aufeinander bezogen. In GTTM wird dies, wie wir bereits wissen, mit Hilfe einer Baumstruktur verdeutlicht:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Hierarchische Analyse der Schlussformel<\/em><\/p>\n

d steht hier in einem gewissen Spannungsverh\u00e4ltnis zum \u00fcbergeordneten c, und dieses Spannungsverh\u00e4ltnis nennt Lerdahl in TPS eben das hierarchische<\/em>.<\/p>\n

Die Grundidee bei der Festlegung eines Masses f\u00fcr die hierarchische Spannung ist nun folgende: Sie wird zun\u00e4chst einmal aufgeteilt in eine lokale und eine globale Komponente. Die lokale Komponenten wird im Grunde genommen auf die gleiche Weise ermittelt wie die sequentielle Spannung, nur dass statt der sequentiell aufeinander folgenden Ereignisse ein Ereignis mit dem ihm direkt hierarchisch \u00fcbergeordneten verglichen wird. Die globale Komponente erh\u00e4lt man, indem man auch noch das Spannungsverh\u00e4ltnis hinzuaddiert, in welchem das \u00fcbergeordnete Ereignis zu einen wiederum ihm \u00fcbergeordneten steht. Sind noch h\u00f6here Stufen der Hierarchisierung vorhanden, so k\u00f6nnen diese Werte rekursiv weiter ermittelt werden. Diese globale Komponente nennt Lerdahl die vom dominanten Ereignis weitervererbte Spannung.<\/p>\n

Dies alles t\u00f6nt schon nach ziemlich schwer verdaulicher Kost. Dabei bleibt es aber nicht, denn wenn man sich mit den subtilen Spannungen und Hierarchien in der Musik n\u00e4her besch\u00e4ftigt, stellt man fest, dass da eine F\u00fclle an subtilen Kr\u00e4ften ins Spiel kommt, die zusammen \u2013 um mit Hermann Hesse zu sprechen \u2013 eine Art Glasperlenspiel ergeben. Die bislang quantifizierten Spannungsverh\u00e4ltnisse betreffen ja auch bloss die Kr\u00e4fte, die aufgrund der Positionen von Ereignissen innerhalb des \u00abKraftfeldes\u00bb der Tonleiter und Akkordstufen entstehen. Dazu kommen etwa auch die vor allem von Ernst Kurth immer wieder beschworene melodische Energie, die Anziehung melodischer Ereignisse durch andere.<\/p>\n

In dieser Hinsicht greift Lerdahl explizit auf die klassische Physik zur\u00fcck. Es existiert hier, meint er, ein melodisches Gegenst\u00fcck zur newtonschen Gravitationskraft. Die Formel f\u00fcr melodische Gravitationen hat \u00fcberdies ebenso die Gestalt eines invers-quadratischen Verh\u00e4ltnisses. Salopp ausgedr\u00fcckt nimmt die Anziehung\u00a0 zwischen zwei melodischen Ereignissen proportional ab \u2013 eben in einem quadratischen Verh\u00e4ltnis zur Distanz. Eine Rolle spielt in der angegebenen Formel \u00fcberdies die Stabilit\u00e4t der beiden Ereignisse innerhalb des Basisraumes. Die resultierende Formel hat tats\u00e4chlich das Flair eines virtuellen physikalischen Gesetzes:<\/p>\n

Seien s1<\/sub> die Stabilit\u00e4t der Tonh\u00f6he p1<\/sub> und s2<\/sub> diejenige der Tonh\u00f6he p2<\/sub>, von der p1<\/sub> angezogen werde. n sei die Anzahl der Halbtonintervalle zwischen p1<\/sub> und p2<\/sub> (um eine Division durch 0 zu vermeiden, wird \u00fcberdies verlangt, dass p1<\/sub> und p2<\/sub> nicht gleich sind). Die melodische Anziehung folgt dann dieser Formel:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ein Beispiel: Der Wert von s f\u00fcr C ist 4, derjenige f\u00fcr f ist 2, zwischen C und f sind 5 Halbtonschritte. Die melodische Anziehung zwischen C und f ist also:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Lerdahl ist der Meinung, dass die Formel plausible Resultate ergibt. Allerdings r\u00e4umt er ein, dass man sie experimentell \u00fcberpr\u00fcfen und gegebenenfalls modifizieren m\u00fcsse, wenn sie sich mit der menschlichen Wahrnehmung nicht decke. \u00dcbrigens f\u00e4llt auf, dass die melodische Anziehung asymmetrisch ist. Die ermittelte Anziehung von C durch f (0,02) f\u00e4llt mit derjenigen von f durch C nicht zusammen:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Intuitiv gesprochen zieht der Grundton den auf vierter Stufe stehenden Ton mehr an als umgekehrt, weil der Grundton mehr \u00abMasse\u00bb in Form von Stabilit\u00e4t innerhalb des Basisraumes hat.<\/p>\n

Spannung und Anziehungskraft k\u00f6nnen auch kombiniert werden, etwa indem Stimmf\u00fchrungsprinzipien bei der Ermittlung der Spannung zwischen Akkorden ber\u00fccksichtigt werden (in Tat und Wahrheit tut dies Lerdahl in der verfeinerten Form seiner Spannungsdefinition). Allerdings ist Lerdahl der Meinung, dass die \u00abGravitationskr\u00e4fte\u00bb nur in einem lokal sehr begrenzten Bereich ins Spiel kommen und auf gr\u00f6ssere Entfernungen zu einer blossen Fiktion werden. Auf gr\u00f6ssere Distanzen kommen seiner Meinung nach als Spannungserzeuger eher Erinnerungen an globale strukturelle Eigenschaften zum Zug.<\/p>\n

Lerdahl zeigt sich der Gravitationsmetapher gegen\u00fcber allerdings auch skeptisch. Ein Grund daf\u00fcr, sie fallenzulassen sieht er etwa in der Tatsache, dass Raumvergleiche in Bezug auf Musik zwar universell sind, nicht jedoch die Richtungen, die in diesem Raum gesehen werden. Mit andern Worten: Auch wenn sich alle dar\u00fcber einig sind, dass Musik in einem wie auch immer gearteten Raum stattfindet, so herrscht doch keineswegs Einigkeit dar\u00fcber, was darin oben und unten, respektive vorne und hinten oder rechts und links sein soll. Lerdahl kommt zum Schluss, dass die \u00abbemerkenswerte expressive Kraft der Musik eine Manifestation des verinnerlichten Wissens \u00fcber Objekte, Kr\u00e4fte und Bewegungen ist \u2013 widerspiegelt im Medium von Tonh\u00f6hen und Rhythmen\u00bb.<\/p>\n

————————–<\/p>\n

[1]<\/a> Fred Lehrdahl, Tonal Pitch Space, Oxford University Press, Oxford 2001<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Schon vor Ernst Kurth und Victor Zuckerkandl gibt es Autoren, die Musik als eine Art virtuelles Universum beschreiben \u2013 beherrscht von Kr\u00e4ften, \u00e4hnlich denen der realen Physik. Bereits Rameau vergleicht die in der Musik wirkenden Gesetze mit der zu seiner Zeit gerade neu entdeckten Gravitation, und auch Schenker spricht vom \u00abWillen der T\u00f6ne\u00bb. Beide jedoch bringen ihre Beobachtungen nicht in ein System. Auf der andern Seite geht Fred Lehrdahl nach GTTM mit eingehenden Untersuchungen zu Tonr\u00e4umen eigene Wege. Er schliesst dabei einerseits an die Resultate der Chomsky-inspirierten generativen Musiktheorie an und versucht, dabei noch ungel\u00f6ste Probleme anzugehen \u2013 in erster Linie die Stabilit\u00e4tsbedingungen tonaler Musik. In einem bemerkenswerten Kapitel seines Buches \u00abTonal Pitch Space\u00bb[1] \u00fcber Tonspannung und -anziehung greift er<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-195","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/195","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=195"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/195\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":354,"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/195\/revisions\/354"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/musikphilosophie.ch\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=195"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}